Distance Between Two Lines

Let lines be:

L_1%3A%20%5Cvec%7Br%7D_1%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%5C%5C%20-1%20%5C%5C%200%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%2B%20%5Clambda%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%5C%5C%203%20%5C%5C%204%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%20%5Cquad%20L_2%3A%20%5Cvec%7Br%7D_2%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20-2%20%5C%5C%203%20%5C%5C%20-1%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%2B%20%5Cmu%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%5C%5C%20-2%20%5C%5C%202%20%5Cend%7Bbmatrix%7D

Direction vectors:

%5Cvec%7Bd%7D_1%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%5C%5C%203%20%5C%5C%204%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%20%5Cquad%20%5Cvec%7Bd%7D_2%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%5C%5C%20-2%20%5C%5C%202%20%5Cend%7Bbmatrix%7D

Vector between points:

%5Cvec%7BPQ%7D%20%3D%20%5Cvec%7Br%7D_2%20-%20%5Cvec%7Br%7D_1%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20-3%20%5C%5C%204%20%5C%5C%20-1%20%5Cend%7Bbmatrix%7D

Shortest distance

D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7BPQ%7D%20%5Ccdot%20(%5Cvec%7Bd%7D_1%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Bd%7D_2)%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bd%7D_1%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Bd%7D_2%7C%7D

Compute cross product:

%5Cvec%7Bd%7D_1%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Bd%7D_2%20%3D%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%5Chat%7Bi%7D%20%26%20%5Chat%7Bj%7D%20%26%20%5Chat%7Bk%7D%20%5C%5C%202%20%26%203%20%26%204%20%5C%5C%201%20%26%20-2%20%26%202%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%20%5C%5C%20%3D%20%5Chat%7Bi%7D(3%20%5Ccdot%202%20-%204%20%5Ccdot%20(-2))%20-%20%5Chat%7Bj%7D(2%20%5Ccdot%202%20-%204%20%5Ccdot%201)%20%2B%20%5Chat%7Bk%7D(2%20%5Ccdot%20(-2)%20-%203%20%5Ccdot%201)%20%5C%5C%20%3D%20%5Chat%7Bi%7D(6%20%2B%208)%20-%20%5Chat%7Bj%7D(4%20-%204)%20%2B%20%5Chat%7Bk%7D(-4%20-%203)%20%5C%5C%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%2014%20%5C%5C%200%20%5C%5C%20-7%20%5Cend%7Bbmatrix%7D

%7C%5Cvec%7Bd%7D_1%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Bd%7D_2%7C%20%3D%20%5Csqrt%7B14%5E2%20%2B%200%20%2B%2049%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B245%7D

Dot product:

%5Cvec%7BPQ%7D%20%5Ccdot%20(%5Cvec%7Bd%7D_1%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Bd%7D_2)%20%3D%20(-3)(14)%20%2B%20(4)(0)%20%2B%20(-1)(-7)%20%3D%20-42%20%2B%200%20%2B%207%20%3D%20-35

D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7C%20-35%20%7C%7D%7B%5Csqrt%7B245%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B35%7D%7B%5Csqrt%7B245%7D%7D%20%3D%20%5Cboxed%7B%5Cfrac%7B7%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7D

Final Answer:

%5Cboxed%7B%5Cfrac%7B7%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7D

Chapter Questions
1 MCQs