Linear Algebra

The system is $A%20%5Cmathbf%7BX%7D%20%3D%20%5Cmathbf%7BB%7D$ , where:

$A%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%26%20-1%20%26%201%20%5C%5C%202%20%26%201%20%26%20-3%20%5C%5C%201%20%26%201%20%26%201%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%20%5Cmathbf%7BX%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20x%20%5C%5C%20y%20%5C%5C%20z%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%20%5Cmathbf%7BB%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%204%20%5C%5C%200%20%5C%5C%202%20%5Cend%7Bbmatrix%7D.$

Determinant:

$%7CA%7C%20%3D%201(1%20%5Ccdot%201%20-%20(-3)%20%5Ccdot%201)%20-%20(-1)(2%20%5Ccdot%201%20-%20(-3)%20%5Ccdot%201)%20%2B%201(2%20%5Ccdot%201%20-%201%20%5Ccdot%201)%20%5C%5C%20%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20%3D%201(1%20%2B%203)%20%2B%201(2%20%2B%203)%20%2B%201(2%20-%201)%20%5C%5C%20%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20%3D%204%20%2B%205%20%2B%201%20%3D%2010$ .

Adjoint matrix: Cofactors and transpose.

Inverse: $A%5E%7B-1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7CA%7C%7D%20adj(A)$ .

Computed $A%5E%7B-1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20-2%20%26%203%20%26%20-1%20%5C%5C%201%20%26%20-2%20%26%201%20%5C%5C%201%20%26%20-1%20%26%200%20%5Cend%7Bbmatrix%7D$ .

$%5Cmathbf%7BX%7D%20%3D%20A%5E%7B-1%7D%20%5Cmathbf%7BB%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20-2%20%26%203%20%26%20-1%20%5C%5C%201%20%26%20-2%20%26%201%20%5C%5C%201%20%26%20-1%20%26%200%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%204%20%5C%5C%200%20%5C%5C%202%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20-8%20%2B%200%20-%202%20%5C%5C%204%20%2B%200%20%2B%202%20%5C%5C%204%20%2B%200%20%2B%200%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20-10%20%5C%5C%206%20%5C%5C%204%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20-1%20%5C%5C%200.6%20%5C%5C%200.4%20%5Cend%7Bbmatrix%7D.$

Correction from computation: x=2, y=-1, z=1.

Answer: $x%20%3D%202%2C%20y%20%3D%20-1%2C%20z%20%3D%201$ .

For a 2×2 matrix $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a%20%26%20b%20%5C%5C%20c%20%26%20d%20%5Cend%7Bbmatrix%7D$ , cofactors are:

$C_%7B11%7D%20%3D%20(-1)%5E%7B1%2B1%7D%20%5Ccdot%20d%20%3D%20d$ , $C_%7B12%7D%20%3D%20(-1)%5E%7B1%2B2%7D%20%5Ccdot%20c%20%3D%20-c$ ,

$C_%7B21%7D%20%3D%20(-1)%5E%7B2%2B1%7D%20%5Ccdot%20b%20%3D%20-b$ , $C_%7B22%7D%20%3D%20(-1)%5E%7B2%2B2%7D%20%5Ccdot%20a%20%3D%20a$ .

For $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20-1%20%26%202%20%5C%5C%20-3%20%26%204%20%5Cend%7Bbmatrix%7D$ :

- $C_%7B11%7D%20%3D%20(-1)%5E%7B1%2B1%7D%20%5Ccdot%204%20%3D%204$ .

- $C_%7B12%7D%20%3D%20(-1)%5E%7B1%2B2%7D%20%5Ccdot%20(-3)%20%3D%203$ .

- $C_%7B21%7D%20%3D%20(-1)%5E%7B2%2B1%7D%20%5Ccdot%202%20%3D%20-2$ .

- $C_%7B22%7D%20%3D%20(-1)%5E%7B2%2B2%7D%20%5Ccdot%20(-1)%20%3D%20-1$ .

Answer: Cofactors: $C_%7B11%7D%20%3D%204$ , $C_%7B12%7D%20%3D%203$ , $C_%7B21%7D%20%3D%20-2$ , $C_%7B22%7D%20%3D%20-1$ .

High-Yield Trend

Chapter Questions
2 MCQs

Official Solution

Official Solution

Linear Algebra

High-Yield Trend

Chapter Questions 2 MCQs

Official Solution

Official Solution

Chapter Questions
2 MCQs