Determinants

To find the value of $xyz$ given the determinant condition, we'll analyze the given matrix equation step-by-step.

1. Given Determinant Equation:
$%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20x%20%26%20x%5E2%20%26%201%2Bx%5E3%20%5C%5C%20y%20%26%20y%5E2%20%26%201%2By%5E3%20%5C%5C%20z%20%26%20z%5E2%20%26%201%2Bz%5E3%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%20%3D%200$ with $x%20%5Cneq%20y%20%5Cneq%20z$ .

2. Split the Determinant:
We can express the determinant as a sum of two determinants: $%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20x%20%26%20x%5E2%20%26%201%20%5C%5C%20y%20%26%20y%5E2%20%26%201%20%5C%5C%20z%20%26%20z%5E2%20%26%201%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%20%2B%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20x%20%26%20x%5E2%20%26%20x%5E3%20%5C%5C%20y%20%26%20y%5E2%20%26%20y%5E3%20%5C%5C%20z%20%26%20z%5E2%20%26%20z%5E3%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%20%3D%200$

3. Evaluate the First Determinant (Vandermonde):
$D_1%20%3D%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20x%20%26%20x%5E2%20%26%201%20%5C%5C%20y%20%26%20y%5E2%20%26%201%20%5C%5C%20z%20%26%20z%5E2%20%26%201%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%20%3D%20(x-y)(y-z)(z-x)$

4. Evaluate the Second Determinant:
$D_2%20%3D%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20x%20%26%20x%5E2%20%26%20x%5E3%20%5C%5C%20y%20%26%20y%5E2%20%26%20y%5E3%20%5C%5C%20z%20%26%20z%5E2%20%26%20z%5E3%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%20%3D%20xyz%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%201%20%26%20x%20%26%20x%5E2%20%5C%5C%201%20%26%20y%20%26%20y%5E2%20%5C%5C%201%20%26%20z%20%26%20z%5E2%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%20%3D%20xyz(x-y)(y-z)(z-x)$

5. Combine the Results:
$D_1%20%2B%20D_2%20%3D%20(x-y)(y-z)(z-x)%20%2B%20xyz(x-y)(y-z)(z-x)%20%3D%200%20%5C%5C%20(x-y)(y-z)(z-x)(1%20%2B%20xyz)%20%3D%200$

6. Solve the Equation:
Since $x%20%5Cneq%20y%20%5Cneq%20z$ , $(x-y)(y-z)(z-x)%20%5Cneq%200$ , so: $1%20%2B%20xyz%20%3D%200%20%5Cimplies%20xyz%20%3D%20-1$

7. Final Answer:
The value of $xyz$ is $%5Cboxed%7B-1%7D$ .

High-Yield Trend

Chapter Questions
1 MCQs

Official Solution

Determinants

High-Yield Trend

Chapter Questions 1 MCQs

Official Solution

Chapter Questions
1 MCQs